Загадка Екабу от 19.10 ❘ 6 фото

Логическая головоломка недели: как угадывать ящик с призом




Представь, будто исполнилась мечта твой бабушки: ты попал на «Поле чудес». А ведущий издевается — принес три ящика и требует угадать, в каком из них автомобиль с деньгами.


Тупая, казалось бы, задача выбора коробки с призом из трех черных ящиков не один год будоражила умы математиков. Точнее, один особенно азартный частный случай. Опишем его.

Условие задачи
Ведущий сообщает тебе и всем телезрителям по секрету, что ящиков ровно три. Автомобиль, набитый ключами от квартиры, только в одном из них. Другие два ящика пусты.

Ты берешь наугад ящик, но еще не успеваешь открыть. Ведущий тотчас открывает другой ящик — один из двух оставшихся. И его ящик пуст! (См. картинку ниже.)

Таким образом, приз есть либо в той коробке, которую ты уже взял со стола, либо в той, которая осталась у ведущего.


Ведущий задает вопрос: «Какой вы откроете ящик? Оставите себе тот, что выбрали? Или поменяете решение и возьмете закрытый ящик, который у меня?»

Так какой выбор будет более правильным с точки зрения вероятности?








Ответ

Следует отдать уже выбранный ящик и взять другой у ведущего.

Ответ не только не очевиден, но и контринтуитивен: большинство людей поступают наоборот и желают оставить уже выбранную коробку. И они ошибаются. По итогам экспериментов лишь 12% испытуемых совершают верный выбор. То есть большинство осознанно ошибаются, а не действуют наугад, иначе было бы только 50% ошибок.

Что же такое творится?

Объяснение решения
Решение не будет содержать математических формул, однако придется слегка напрячь все свои интеллектуальные извилины, чтобы в итоге прийти к тому же ответу, что и американский статистик Стив Селвин в 1975 году, который в переписке начал спорить с телеведущим одного из американских шоу и в итоге убедил его.


Попробуем описать ход мыслей Селвина как можно короче.

Перед нами три коробки — твоя, ведущего, открытая.

В начале розыгрыша каждая из коробок имеет равный шанс содержать приз, и это 1/3.

Вариант А. Шоумен мог открыть коробку чисто наугад. Тогда шансы, что приз в любой из оставшихся коробок, остается равным и повышается до 1/2. Тут особо гадать нечего, выбирай любую — или твою, или ведущего. Фифти-фифти.

Вариант Б. Шоумен мог открыть коробку осознанно и заранее зная, что она будет пустой. Обычно именно так и происходит в телешоу ради накала страстей. И вот это уже намного интересней!

В момент, когда ты взял твою коробку, ее шансы равнялись 1/3. А шансы двух ящиков ведущего — в сумме 2/3. И вот тут математический парадокс! Ведущий знал, какая из его коробок пустая, так что с точки зрения математики открытие заведомо пустой коробки меняет шансы второй его коробки. На его стороне вероятность 2/3 так и осталась после вскрытия. Только теперь все эти 2/3 принадлежат не паре коробок, а лишь одной неоткрытой коробке ведущего!

Это объяснение люди, далекие от математики, не всегда переваривают, поэтому для них существует более общее описание.

Представь, будто на телешоу не три, а десять коробок. Ты взял себе одну, у нее шанс 1/10. У ведущего 9 коробок, суммарный шанс которых — 9/10, а у каждой из них — те же 1/10.

Свою коробку выбрал (и как бы изъял из игры) ты сам. Ведущий на нее влиять уже никак не может. Ведущий играет только с оставшимися девятью ящиками. В этих девяти, может, есть приз, а может — нет, вероятность 9/10.

Ведущий открывает одну пустую коробку. Осознанно и не наугад — это важно. Шансы твоей коробки не меняются, она вне игры, а вот у каждой из закрытых коробок ведущего повышается шанс на приз где-то на одну десятую. Когда он открывает еще одну пустую, то у каждой из оставшихся вероятность повышается еще сильнее.

И так до тех пор, пока в студии не останутся две закрытые коробки. Твоя коробка с первоначальным шансом 1/10 и последняя коробка ведущего с шансом аж 9/10. Какую же ты выберешь?

Опять не ясно? Тогда чисто художественное описание байки. Тебе завязали глаза и привели в огромный сад, где миллион яблок и лишь одно спелое. Ты наугад сорвал какое-то. Вдруг пришел ураган, который сорвал все неспелые яблоки. На деревьях осталось висеть лишь одно — непонятно только, спелое или нет. И где, по-твоему, с большей вероятностью спелое яблоко — у тебя или в саду?

P.S. Да-да, предвосхищаем твой вопрос: а как меняются шансы при случайном открытии десяти ящиков? Там все проще, ведь суммарная вероятность ящиков ведущего не будет постоянной величиной в 9/10. Она будет падать по мере открытия коробок: 9/10, 8/9, 7/8 пока не дойдет до 1/2 и не сравнятся с твоей коробкой. Только, скорее всего, посреди процесса ведущий случайно откроет ящик с призом и тем самым испортит всю игру. Так что выброси это из головы.